حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (1 + 4 x^{2}) \arctan (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + 4 x^{2}$ و $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.6

اضرب $1 + 4 x^{2}$ في $1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

خطوة 3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

خطوة 3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

خطوة 3.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 (2 x))$

خطوة 3.12

اضرب $2$ في $4$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (8 x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 + 8 x \arctan (2 x)$