حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{f (x) (\sin (14 x))}{\sin (7 x)}$

خطوة 1

بما أن $f (x)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{f (x) \sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

خطوة 3

اكتب $\sin (14 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}]$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم $\sin (14 x)$ على $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

خطوة 4.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (7 x)}$ إلى $\csc (7 x)$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \csc (7 x)]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (14 x)$ و $g (x) = \csc (7 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)] + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 6.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 7.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 7.4

اضرب $- 7$ في $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 14 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

خطوة 8.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \cdot 1))$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $14$ في $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) \cdot 14)$

خطوة 9.3.2

انقُل $14$ إلى يسار $\csc (7 x) \cos (14 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 \cdot (\csc (7 x) \cos (14 x)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x))) + f (x) (14 \csc (7 x) \cos (14 x))$

خطوة 10.2

انقُل $14$ إلى يسار $f (x)$ .

$f (x) \sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 f (x) \csc (7 x) \cos (14 x)$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 7 \cot (7 x) \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أعِد كتابة $\cot (7 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- 7 \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.2

اجمع $- 7$ و $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$\frac{- 7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(7) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.4

أعِد كتابة $\csc (7 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.5

اضرب $- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1

اضرب $\frac{1}{\sin (7 x)}$ في $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.5.2

ارفع $\sin (7 x)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.5.3

ارفع $\sin (7 x)$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin^{1} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{{\sin (7 x)}^{1 + 1}} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.6

اجمع $\sin (14 x)$ و $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{\sin (14 x) (7 \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.7

انقُل $7$ إلى يسار $\sin (14 x)$ .

$- \frac{7 \cdot \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.8

اجمع $f (x)$ و $\frac{7 \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{f (x) (7 \sin (14 x) \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.9

انقُل $7$ إلى يسار $f (x)$ .

$- \frac{7 \cdot f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

خطوة 10.4.10

أعِد كتابة $\csc (7 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)} f (x)$

خطوة 10.4.11

اضرب $14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.11.1

اجمع $\frac{1}{\sin (7 x)}$ و $14$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14}{\sin (7 x)} \cos (14 x) f (x)$

خطوة 10.4.11.2

اجمع $\frac{14}{\sin (7 x)}$ و $\cos (14 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)} f (x)$

خطوة 10.4.12

اجمع $\frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ و $f (x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أخرِج العامل $\sin (7 x)$ من $\sin^{2} (7 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.2

افصِل الكسور.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.3

أعِد كتابة $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.4

اكتب $\sin (14 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.5.1

اقسِم $\sin (14 x)$ على $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.5.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (7 x)}$ إلى $\csc (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.6

افصِل الكسور.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.7

حوّل من $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ إلى $\cot (7 x)$ .

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.8

اقسِم $7 f (x)$ على $1$ .

$- (7 f (x) \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.9

اضرب $7$ في $- 1$ .

$- 7 (f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x)) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.10

افصِل الكسور.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$

خطوة 10.5.11

أعِد كتابة $\frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

خطوة 10.5.12

اكتب $\cos (14 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\frac{\cos (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})$

خطوة 10.5.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.13.1

اقسِم $\cos (14 x)$ على $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

خطوة 10.5.13.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (7 x)}$ إلى $\csc (7 x)$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \csc (7 x))$

خطوة 10.5.14

اقسِم $14 f (x)$ على $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$

خطوة 10.6

أعِد ترتيب العوامل في $- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$ .

$- 7 \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$