حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين ${\displaystyle (1,\ln \left(x\right))}$ و${\displaystyle (1,0)}$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، ${\displaystyle \arctan \left(\ln \left(x\right)\right)}$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر ${\displaystyle (1,\ln \left(x\right))}$. إذن، ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(\ln \left(x\right)\right)\right)}$ تساوي ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\ln }^2\left(x\right)}}}$.

استخدِم ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ لكتابة ${\displaystyle \sqrt{1+{\ln }^2\left(x\right)}}$ في صورة ${\displaystyle {(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{1}{2}}}$.

أعِد كتابة ${\displaystyle \frac{1}{{(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{1}{2}}}}$ بالصيغة ${\displaystyle {\left({(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

اضرب الأُسس في ${\displaystyle {\left({(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة ${\displaystyle u_1}$ لتصبح ${\displaystyle 1+{\ln }^2\left(x\right)}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{d{u}_1}\left[{u_1}^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{u_1}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=-\frac{1}{2}}$.

استبدِل كافة حالات حدوث ${\displaystyle u_1}$ بـ ${\displaystyle 1+{\ln }^2\left(x\right)}$.

اضرب ${\displaystyle -1}$ في ${\displaystyle 2}$.

اطرح ${\displaystyle 2}$ من ${\displaystyle -1}$.

انقُل السالب أمام الكسر.

اجمع الكسور.

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${\displaystyle 1+{\ln }^2\left(x\right)}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ هو ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1\right]+\frac{d}{dx}\left[{\ln }^2\left(x\right)\right]}$.

بما أن ${\displaystyle 1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$، فإن مشتق ${\displaystyle 1}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ هو ${\displaystyle 0}$.

أضف ${\displaystyle 0}$ و${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[{\ln }^2\left(x\right)\right]}$.

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة ${\displaystyle u_2}$ لتصبح ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$.

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن ${\displaystyle \frac{d}{d{u}_2}\left[{u_2}^n\right]}$ هو ${\displaystyle n{u_2}^{n-1}}$ حيث ${\displaystyle n=2}$.

استبدِل كافة حالات حدوث ${\displaystyle u_2}$ بـ ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$.

اضرب ${\displaystyle 2}$ في ${\displaystyle -1}$.

اجمع ${\displaystyle -2}$ و${\displaystyle \frac{1}{2{(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{3}{2}}}}$.

اجمع ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$ و${\displaystyle \frac{-2}{2{(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{3}{2}}}}$.

انقُل ${\displaystyle -2}$ إلى يسار ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$.

أخرِج العامل ${\displaystyle 2}$ من ${\displaystyle -2\ln \left(x\right)}$.

أخرِج العامل ${\displaystyle 2}$ من ${\displaystyle 2{(1+{\ln }^2\left(x\right))}^{\frac{3}{2}}}$.

ألغِ العامل المشترك.

أعِد كتابة العبارة.