حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \csc (\frac{1}{\sqrt{x}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

خطوة 1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

خطوة 2.2

مشتق $\csc (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (- \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

خطوة 3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ في $1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 3.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 3.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 9

اجمع $x^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 10

اجمع $\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ و $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 11

اجمع $\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ و $\frac{\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{- \frac{3}{2}})}{2}$

خطوة 12

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\cot (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \csc (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$