حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \ln (\frac{1}{x})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

خطوة 2.5

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

خطوة 2.6

اضرب $x$ في $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

خطوة 2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

خطوة 2.9

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

خطوة 2.10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

خطوة 3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - \frac{3}{x}$

خطوة 3.2.3

اطرح $\frac{3}{x}$ من $0$ .

$- \frac{3}{x}$