حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} {(x - 9)}^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة ${(x - 9)}^{2}$ بالصيغة $(x - 9) (x - 9)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} ((x - 9) (x - 9))]$

خطوة 2

وسّع $(x - 9) (x - 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x (x - 9) - 9 (x - 9))]$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9))]$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

خطوة 3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

خطوة 3.1.2

انقُل $- 9$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9)]$

خطوة 3.1.3

اضرب $- 9$ في $- 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 9 x - 9 x + 81)]$

خطوة 3.2

اطرح $9 x$ من $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 18 x + 81)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 18 x + 81] + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 18 x + 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.3

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (2 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{3} (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.5

اضرب $- 18$ في $1$ .

$x^{3} (2 x - 18 + \frac{d}{d x} [81]) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.6

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{3} (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.7

أضف $2 x - 18$ و $0$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{3} (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x + 81) (3 x^{2})$

خطوة 5.9

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} - 18 x + 81$ .

$x^{3} (2 x - 18) + 3 \cdot (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 (x^{2} - 18 x + 81) x^{2}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + (3 x^{2} + 3 (- 18 x) + 3 \cdot 81) x^{2}$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

انقُل $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{4}$ .

$2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 18 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.3

انقُل $- 18$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 x^{4} - 18 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.4.3

أضف $2$ و $2$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 18 x) x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.5

اضرب $- 18$ في $3$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x) + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{2 + 1} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 3 \cdot 81 x^{2}$

خطوة 6.4.7

اضرب $3$ في $81$ .

$2 x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{4} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

خطوة 6.4.8

أضف $2 x^{4}$ و $3 x^{4}$ .

$5 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{3} + 243 x^{2}$

خطوة 6.4.9

اطرح $54 x^{3}$ من $- 18 x^{3}$ .

$5 x^{4} - 72 x^{3} + 243 x^{2}$