حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{8 x}{x^{5} + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 8 x$ و $g (x) = x^{5} + 3$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [8 x] - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) (8 \cdot 1) - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4} + 0)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$\frac{(x^{5} + 3) \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{5} \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

انقُل $8$ إلى يسار $x^{5}$ .

$\frac{8 \cdot x^{5} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 x (5 x^{4})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x \cdot x^{4}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $x$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

انقُل $x^{4}$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4.2

اضرب $x^{4}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 (x^{4} x^{1})}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{4 + 1}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4.3

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 1 \cdot 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $- 1 \cdot 8 \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 8 \cdot 5 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5.2

اضرب $- 8$ في $5$ .

$\frac{8 x^{5} + 24 - 40 x^{5}}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $40 x^{5}$ من $8 x^{5}$ .

$\frac{- 32 x^{5} + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $8$ من $- 32 x^{5} + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $8$ من $- 32 x^{5}$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 24}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $8$ من $24$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (- 4 x^{5}) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (- 4 x^{5} + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x^{5}$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) + 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5}) - 1 (- 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x^{5}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8 (- (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- (4 x^{5} - 3)$ بالصيغة $- 1 (4 x^{5} - 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (4 x^{5} - 3))}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 (4 x^{5} - 3)}{{(x^{5} + 3)}^{2}}$