حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 8}$ في صورة ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 8$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 8$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.3

انقُل ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12.2

اضرب $\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

خطوة 14

اضرب ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ في $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 15

لكتابة ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 16

اجمع ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ و $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18

اضرب ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

انقُل ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.4

أضف $2$ و $1$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 18.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 19

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط ${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ .

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 19.2

انقُل $3$ إلى يسار $x - 8$ .

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 20

اجمع $5$ و $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.3.1.1

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.3.1.2

اضرب $5 (3 \cdot - 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.3.1.2.1

اضرب $3$ في $- 8$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.3.1.2.2

اضرب $5$ في $- 24$ .

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.3.2

أضف $5 x$ و $15 x$ .

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.4

أخرِج العامل $20$ من $20 x - 120$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.4.1

أخرِج العامل $20$ من $20 x$ .

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.4.2

أخرِج العامل $20$ من $- 120$ .

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.4.3

أخرِج العامل $20$ من $20 x + 20 \cdot - 6$ .

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$