حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} - x - \ln (x)$

خطوة 1

اكتب $x^{2} - x - \ln (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

خطوة 2.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x, 1, 1$

خطوة 3.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ في $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

انقُل $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

خطوة 3.3.2.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

خطوة 3.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $0$ في $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

خطوة 3.4.1.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

خطوة 3.4.1.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 3.4.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 3.4.3

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 3.4.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 3.4.3.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.4.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.4.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.4.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

خطوة 5

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 6

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 7

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.5, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.25$ في العبارة.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $1$ على $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 0.5$ و $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $1$ من $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $2.5$ .

$2.5$

خطوة 9

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, 1)$

خطوة 10

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 10.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

خطوة 10.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

خطوة 10.2.1.3

اضرب $- (1 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

خطوة 10.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

خطوة 10.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

خطوة 10.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 10.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- 2$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 1)$ .

تناقص خلال $(0, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 11

استبعِد الفترات غير الموجودة في النطاق.

$(0, 1), (1, \infty)$

خطوة 12

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 12.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اكتب $4$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 12.2.2.2

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 12.2.2.3

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

خطوة 12.2.2.4

اكتب $- 1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

خطوة 12.2.2.5

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 12.2.2.6

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 12.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 12.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 12.2.4.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

خطوة 12.2.5

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اطرح $1$ من $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

خطوة 12.2.5.2

اطرح $2$ من $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

خطوة 12.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

خطوة 12.3

المشتق في $x = 2$ هو $\frac{5}{2}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 13

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(1, \infty)$

تناقص خلال: $(0, 1)$

خطوة 14