حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

خطوة 3.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

خطوة 3.5.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{4} + 1$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

خطوة 3.5.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

خطوة 3.5.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

خطوة 3.5.5

اجمع $x^{3}$ و $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

خطوة 3.5.6

انقُل $8$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x^{4} + 1$ من ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$