حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{{(4 x + 1)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = {(4 x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(4 x + 1)}^{2}$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 4 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x + 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) (4 + 0))$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (2 (4 x + 1) \cdot 4)$

خطوة 3.6.2

اضرب $4$ في $2$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x + 1))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (8 (4 x) + 8 \cdot 1)$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $4$ في $8$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8 \cdot 1)$

خطوة 4.2.2

اضرب $8$ في $1$ .

$e^{{(4 x + 1)}^{2}} (32 x + 8)$