حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cot^{3} (\sqrt{x})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 11

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 3$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2}$ و $\cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 13

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ و $\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 14.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$