حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{18} \sqrt{2 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 18$

خطوة 1.5

اضرب $2$ في $18$ .

$u_{upper} = 36$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 36$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{36} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{36} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{36} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{36}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $36$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(6^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 6^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 216 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 216}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{432}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $432$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $432$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 144}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{144}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.4

اقسِم $144$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.8

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.9

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 6.2.11

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} (144 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

خطوة 6.2.12

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.2.13

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (144 + 0)$

خطوة 6.2.14

أضف $144$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 144$

خطوة 6.2.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $144$ .

$\frac{144}{2}$

خطوة 6.2.16

احذِف العامل المشترك لـ $144$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.1

أخرِج العامل $2$ من $144$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2}$

خطوة 6.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

خطوة 6.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{72}{1}$

خطوة 6.2.16.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$72$

خطوة 7