حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{x^{4}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{x^{4}}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{x^{4}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{4}})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln (x^{x^{4}})$ بنقل $x^{4}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4} \ln (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{4} \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x^{4}$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x^{4} \ln (x)} (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.2.2.5

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$e^{x^{4} \ln (x)} (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + e^{x^{4} \ln (x)} (\ln (x) (4 x^{3}))$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} + 4 e^{x^{4} \ln (x)} x^{3} \ln (x)$