حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا الطرفين في $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

خطوة 3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط $x (1 - e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $x e^{y}$ إلى كلا المتعادلين.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

خطوة 3.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} + x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اضرب في $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $e^{y} (1 + x) = x - 1$ على $1 + x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $e^{y} (1 + x) = x - 1$ على $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $e^{y}$ على $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

خطوة 3.4.5

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

خطوة 3.4.6

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

خطوة 3.4.6.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

خطوة 3.4.6.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ هي معكوس $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

خطوة 5.2.3

احذِف الأقواس.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

خطوة 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اضرب $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ في $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

خطوة 5.2.4.2

اجمع.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

خطوة 5.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

خطوة 5.2.6

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

خطوة 5.2.6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

خطوة 5.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

خطوة 5.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.3

اضرب $- e^{x} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.3.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.4

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.5

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.7.6

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اضرب $1 - e^{x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

خطوة 5.2.8.2

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

خطوة 5.2.8.3

أضف $- e^{x}$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

خطوة 5.2.8.4

أضف $2$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

خطوة 5.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

خطوة 5.2.9.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.2.10

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

خطوة 5.2.11

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

خطوة 5.2.12

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.5

أعِد كتابة $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أضف $x$ و $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.3.5.3

أضف $2 x$ و $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

خطوة 5.3.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5

أعِد كتابة $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5.4

أضف $0$ و $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

خطوة 5.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

خطوة 5.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

خطوة 5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

خطوة 5.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ هي معكوس $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$