حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا الطرفين في $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 2 e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

خطوة 3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط $x (1 + 2 e^{y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $2 x e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب في $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل $e^{y}$ من $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

خطوة 3.4.2.3

أخرِج العامل $e^{y}$ من $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

خطوة 3.4.3

اقسِم كل حد في $e^{y} (1 - 2 x) = x$ على $1 - 2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اقسِم كل حد في $e^{y} (1 - 2 x) = x$ على $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 3.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 3.4.3.2.1.2

اقسِم $e^{y}$ على $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 3.4.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

خطوة 3.4.5

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

خطوة 3.4.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

خطوة 3.4.5.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ هي معكوس $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اجمع $- 2$ و $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

خطوة 5.2.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

خطوة 5.2.4.6

أعِد كتابة $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.6.1

اطرح $2 e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

خطوة 5.2.4.6.2

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

خطوة 5.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

خطوة 5.2.6

اضرب $2 e^{x} + 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

خطوة 5.2.7

اضرب $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ في $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

خطوة 5.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $2 e^{x} + 1$ و $1 + 2 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

خطوة 5.2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

خطوة 5.2.8.3

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.2.9

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

خطوة 5.2.10

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

خطوة 5.2.11

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

خطوة 5.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

خطوة 5.3.4.2

اجمع $2$ و $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.5

أعِد كتابة $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.5.1

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.5.2

أضف $1$ و $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

خطوة 5.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ هي معكوس $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$