حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{- 8 x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = e^{- 8 x}$ في صورة معادلة.

$y = e^{- 8 x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = e^{- 8 y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{- 8 y} = x$ .

$e^{- 8 y} = x$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln (e^{- 8 y})$ بنقل $- 8 y$ خارج اللوغاريتم.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $- 8 y = \ln (x)$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $- 8 y = \ln (x)$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

خطوة 3.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ هي معكوس $f (x) = e^{- 8 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

خطوة 5.2.3

وسّع $\ln (e^{- 8 x})$ بنقل $- 8 x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

خطوة 5.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

خطوة 5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

خطوة 5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

خطوة 5.2.4.2.4

اقسِم $- x \ln (e)$ على $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

خطوة 5.2.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

خطوة 5.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (x)}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $8$ من $- 8$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

خطوة 5.3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

خطوة 5.3.4

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

خطوة 5.3.4.2

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

خطوة 5.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ هي معكوس $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$