حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ في صورة معادلة.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ على $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ على $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

خطوة 3.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ بنقل $\frac{y}{3} + 1$ خارج اللوغاريتم.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 3.4.3

اضرب $\frac{y}{3} + 1$ في $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

خطوة 3.5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

خطوة 3.6

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

خطوة 3.7

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

خطوة 3.7.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

خطوة 3.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

بسّط $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

خطوة 3.7.2.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ هي معكوس $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

خطوة 5.2.3.1.2

اقسِم $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ على $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

خطوة 5.2.3.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{1}{3} x + 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

خطوة 5.2.3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

خطوة 5.2.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $\frac{x}{3} + 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

خطوة 5.2.3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

خطوة 5.2.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

خطوة 5.2.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

خطوة 5.2.3.8

اضرب $3$ في $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 3 - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $3$ من $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

بسّط $3 \ln (\frac{x}{3})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

خطوة 5.3.3.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.2.2

بسّط.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.3.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.3.5.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

خطوة 5.3.4.2

أضف $\ln (\frac{x}{3})$ و $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

خطوة 5.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

خطوة 5.3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ هي معكوس $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$