حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{2 x} + 1$

خطوة 1

اكتب $f (x) = e^{2 x} + 1$ في صورة معادلة.

$y = e^{2 x} + 1$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = e^{2 y} + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$e^{2 y} = x - 1$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{2 y})$ بنقل $2 y$ خارج اللوغاريتم.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

خطوة 3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x - 1)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x - 1)$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{2 x} + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 5.2.4.2

أضف $e^{2 x}$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 5.2.5

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

خطوة 5.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

خطوة 5.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

خطوة 5.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.2.6

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

خطوة 5.2.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

خطوة 5.2.8

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$