حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

خطوة 3.2

بسّط $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لكتابة $- 20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

خطوة 3.2.2

اجمع $- 20$ و $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

خطوة 3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

خطوة 3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $- 20$ في $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

خطوة 3.2.4.2

اطرح $60$ من $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

خطوة 3.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

خطوة 3.3

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

خطوة 3.4

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $3$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $- 12$ في $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{59}{3}$ إلى بسط الكسر.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

خطوة 3.4.3

انقُل $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

خطوة 3.4.4

انقُل $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

خطوة 3.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.6

عوّض بقيم $a = 6$ و $b = - 36$ و $c = - 3 x - 59$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $- 3$ في $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.5

اضرب $- 24$ في $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.6

أضف $1296$ و $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.7

أخرِج العامل $24$ من $72 x + 2712$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.7.1

أخرِج العامل $24$ من $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.7.2

أخرِج العامل $24$ من $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.7.3

أخرِج العامل $24$ من $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.8

أعِد كتابة $24 (3 x + 113)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

خطوة 3.7.3

بسّط $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 3.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.4

اضرب $- 3$ في $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.5

اضرب $- 24$ في $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.6

أضف $1296$ و $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.7

أخرِج العامل $24$ من $72 x + 2712$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.7.1

أخرِج العامل $24$ من $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.7.2

أخرِج العامل $24$ من $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.7.3

أخرِج العامل $24$ من $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.8

أعِد كتابة $24 (3 x + 113)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

خطوة 3.8.3

بسّط $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 3.8.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 3.9

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

ارفع $- 36$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.4

اضرب $- 3$ في $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.5

اضرب $- 24$ في $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.6

أضف $1296$ و $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.7

أخرِج العامل $24$ من $72 x + 2712$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.7.1

أخرِج العامل $24$ من $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.7.2

أخرِج العامل $24$ من $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.7.3

أخرِج العامل $24$ من $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.8

أعِد كتابة $24 (3 x + 113)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

خطوة 3.9.2

اضرب $2$ في $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

خطوة 3.9.3

بسّط $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 3.9.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 3.10

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ و $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $6 (3 x + 113) \geq 0$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اقسِم كل حد في $6 (3 x + 113) \geq 0$ على $6$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

خطوة 5.3.2.1.2.1.2

اقسِم $3 x + 113$ على $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $113$ من كلا طرفي المتباينة.

$3 x \geq - 113$

خطوة 5.3.2.3

اقسِم كل حد في $3 x \geq - 113$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم كل حد في $3 x \geq - 113$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

خطوة 5.3.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

خطوة 5.3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x \geq - \frac{113}{3}$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ هو مدى $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ هو نطاق $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

خطوة 6