حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ في صورة معادلة.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

خطوة 3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{3}{2}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ هي معكوس $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt{x^{3}}$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{3}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{3} \geq 0$

خطوة 5.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.3.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq 0$

خطوة 5.3.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

خطوة 5.4.2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ هو مدى $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ومدى $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ هو نطاق $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ هي معكوس $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 6