حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ هو $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ حيث $f (u) = u$ و $g (u) = u^{2} + 2$ .

$\frac{(u^{2} + 2) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 2]}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 2) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 2]}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب $u^{2} + 2$ في $1$ .

$\frac{u^{2} + 2 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 2]}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + 2$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [2]$ .

$\frac{u^{2} + 2 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [2])}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 2 - u (2 u + \frac{d}{d u} [2])}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$\frac{u^{2} + 2 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2 u$ و $0$ .

$\frac{u^{2} + 2 - u (2 u)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 2 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u^{2} + 2 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{u^{2} + 2 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{u^{2} + 2 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{u^{2} + 2 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 7

اطرح $2 u^{2}$ من $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 2}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 2}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 2)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (u^{2} - 2)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $- (u^{2} - 2)$ بالصيغة $- 1 (u^{2} - 2)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 2)}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{u^{2} - 2}{{(u^{2} + 2)}^{2}}$