حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = 3 - t$ .

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.7

اضرب $3 - t$ في $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.9

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.11

اضرب $t$ في $1$ .

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.12

أضف $- t$ و $t$ .

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 2.13

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$