حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 4 e^{x} + \cos (x)$ و $g (x) = e^{3 x} - \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - \sin (x)] + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 x} - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 4.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 e^{x} + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 6.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} - \sin (x))$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$(3 e^{3 x} - \cos (x)) (4 e^{x} + \cos (x)) + (4 e^{x} - \sin (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$