حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (9 x^{2} + 4 x) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 9 x^{2} + 4 x$ و $g (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}] + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 5 (2 x)) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $9$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4 \cdot 1)$

خطوة 2.12

اضرب $4$ في $1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + 1 ((x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + 1 ((x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$

خطوة 3.2

اضرب $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ في $1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(3 x^{2} - 10 x) (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(3 x^{2} - 10 x) (9 x^{2} + 4 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} (9 x^{2} + 4 x) - 10 x (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \cdot 9 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$3 \cdot 9 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \cdot 9 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$3 \cdot 9 x^{4} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.3

اضرب $3$ في $9$ .

$27 x^{4} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.5.1

انقُل $x$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{1 + 2} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{3} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.6

اضرب $3$ في $4$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.8

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.8.1

انقُل $x^{2}$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 (x^{2} x) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x^{2 + 1} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.8.3

أضف $2$ و $1$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x^{3} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.9

اضرب $- 10$ في $9$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.10

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 x \cdot x + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.11

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.11.1

انقُل $x$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 (x \cdot x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.11.2

اضرب $x$ في $x$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.1.12

اضرب $- 10$ في $4$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 40 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $90 x^{3}$ من $12 x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.3

وسّع $(18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x (x^{3} - 5 x^{2}) + 4 (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x \cdot x^{3} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 (x^{3} - 5 x^{2})$

خطوة 3.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x \cdot x^{3} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 (x^{3} x) + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 (x^{3} x^{1}) + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{3 + 1} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.1.3

أضف $3$ و $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x \cdot x^{2} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 (x^{2} x) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 (x^{2} x^{1}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x^{2 + 1} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.4

اضرب $18$ في $- 5$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 90 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

خطوة 3.4.4.1.5

اضرب $- 5$ في $4$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 90 x^{3} + 4 x^{3} - 20 x^{2}$

خطوة 3.4.4.2

أضف $- 90 x^{3}$ و $4 x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 86 x^{3} - 20 x^{2}$

خطوة 3.5

أضف $27 x^{4}$ و $18 x^{4}$ .

$45 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} - 86 x^{3} - 20 x^{2}$

خطوة 3.6

اطرح $86 x^{3}$ من $- 78 x^{3}$ .

$45 x^{4} - 164 x^{3} - 40 x^{2} - 20 x^{2}$

خطوة 3.7

اطرح $20 x^{2}$ من $- 40 x^{2}$ .

$45 x^{4} - 164 x^{3} - 60 x^{2}$