حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} - 1$ و $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 x^{3} + 3 \cdot 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $3 x^{3} x^{2}$ من $3 x^{3} x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 0 - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أضف $3 \cdot 1 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أضف $3 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

خطوة 3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

خطوة 3.6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

خطوة 3.6.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

خطوة 3.6.4

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$