حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{x} + 1}]$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 1$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1] - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{2}} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 8.3

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 10

أضف $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{2}} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 13

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 14

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 16.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 17

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 17.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 17.3

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 18

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 19

أضف $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1.1

اطرح $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ من $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.1.2

أضف $1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.2.1

اضرب $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.2.3

اضرب $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.4.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

خطوة 20.5.2

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$