حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{{(x + 4)}^{12}}{{(3 x - 9)}^{11}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x + 4)}^{12}$ و $g (x) = {(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{({(3 x - 9)}^{11})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${({(3 x - 9)}^{11})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{11 \cdot 2}}$

خطوة 2.2

اضرب $11$ في $2$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{12}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 12$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $12$ إلى يسار ${(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{12 \cdot {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + 0) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \cdot 1 - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 4.5.2

اضرب $12$ في $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{11}$ و $g (x) = 3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{11}] \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {u_{2}}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $11$ في $- 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.6

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + 0))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \cdot 3)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.7.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} (3 \cdot {(3 x - 9)}^{10})}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 6.7.3

اضرب $3$ في $- 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ من $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أخرِج العامل $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ من $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.1.2

أخرِج العامل $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ من $- 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.1.3

أخرِج العامل $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ من $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{3 {(3 (x) - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$\frac{3 {(3 x + 3 \cdot - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 {(3 (x - 3))}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x - 3)$ .

$\frac{3 \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.4

اضرب $3$ في $3^{10}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

اضرب $3$ في $3^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3^{1 + 10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.4.2

أضف $1$ و $10$ .

$\frac{3^{11} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $11$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x) + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.6.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.6.3

اضرب $4$ في $- 9$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 11 \cdot 4)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.6.5

اضرب $- 11$ في $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.7

اطرح $11 x$ من $12 x$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 36 - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.1.8

اطرح $44$ من $- 36$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

خطوة 7.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x) - 9)}^{22}}$

خطوة 7.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{22}}$

خطوة 7.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x - 3))}^{22}}$

خطوة 7.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x - 3)$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{3^{22} {(x - 3)}^{22}}$

خطوة 7.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $22$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

خطوة 7.4

احذِف العامل المشترك لـ $177147$ و $31381059609$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $177147$ من $177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

خطوة 7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أخرِج العامل $177147$ من $31381059609 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

خطوة 7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

خطوة 7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

خطوة 7.5

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 3)}^{10}$ و ${(x - 3)}^{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{10}$ من ${(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

خطوة 7.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{10}$ من $177147 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

خطوة 7.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

خطوة 7.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + 4)}^{11} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{12}}$