حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 4 x - 1$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $8 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (x) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 1 (- x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.12

أعِد كتابة $- (2 x^{2} - x - 2)$ بالصيغة $- 1 (2 x^{2} - x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (2 x^{2} - x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$