حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{x \ln (x)}$ بالصيغة ${(x \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 5.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

خطوة 6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق قاعدة الضرب على $x \ln (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

خطوة 7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

خطوة 7.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $\ln (x)$ و $\ln^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

خطوة 7.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

أخرِج العامل $\ln (x)$ من $x^{2} \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

خطوة 7.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

خطوة 7.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$