حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{8} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2)} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2 \sqrt{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sqrt{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \sqrt{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.6

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 4.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 4.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 4.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 4.13

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

خطوة 4.14

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

خطوة 4.14.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 4.14.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

خطوة 4.14.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

خطوة 4.14.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 4.15

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

خطوة 4.16

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 \sqrt{2} x - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.17

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 4.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \sqrt{2} x - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$4 x \sqrt{2} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$