حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \log_{8} (\frac{x^{2} - 5}{x - 10})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{8} (x)$ و $g (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 1.2

مشتق $\log_{8} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 5}{x - 10} \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 2

اجمع $\frac{x^{2} - 5}{x - 10}$ و $\ln (8)$ .

$\frac{1}{\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{(x^{2} - 5) \ln (8)}{x - 10}$ .

$1 \frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 4

اضرب $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ في $1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 5}{x - 10}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 5$ و $g (x) = x - 10$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{(x - 10) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 10$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 \cdot (x - 10) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 10]}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.7

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)} \cdot \frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$

خطوة 6.8.3

اضرب $\frac{x - 10}{(x^{2} - 5) \ln (8)}$ في $\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 10)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}}$

خطوة 7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $x - 10$ من $(x^{2} - 5) \ln (8) {(x - 10)}^{2}$ .

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 10) (2 (x - 10) x - (x^{2} - 5))}{(x - 10) ((x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10))}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (x - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 10) x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - (x^{2} - 5)}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} - 5) \ln (8) (x - 10)}$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 10 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.5.1.2

اضرب $2$ في $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} - - 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.5.1.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x - x^{2} + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.5.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8)) (x - 10)}$

خطوة 8.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} - 20 x + 5}{(x - 10) (x^{2} \ln (8) - 5 \ln (8))}$