حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$ في صورة ${(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 - 2 x$ و $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.6.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.13.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 9.13.2

اضرب $\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.13.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 (1 + 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) - 2 (1 - 2 x)}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 (1 - 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.13.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 ({(1 + 2 x)}^{2})} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.13.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.5

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.6

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{0 - 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.7

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{- 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.9

اضرب $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 10.5.10

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 10.5.11

انقُل ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5.12

اضرب ${(1 + 2 x)}^{2}$ في ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.12.1

انقُل ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2})}$

خطوة 10.5.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

خطوة 10.5.12.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

خطوة 10.5.12.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 10.5.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 10.5.12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.12.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

خطوة 10.5.12.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$