حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5^{3} \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{4}}$ في صورة $x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{\frac{4}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 2.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 2.3

بما أن $125$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $125 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $125 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$125 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $125$ .

$250 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$250 x + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$250 x + 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$250 x + 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$250 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$250 x + 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 3.10

اضرب $- 2$ في $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{3 x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

خطوة 4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

خطوة 4.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

خطوة 4.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

خطوة 4.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

خطوة 4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

خطوة 4.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

خطوة 4.8

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

خطوة 4.9

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3} x^{- 4}$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{- 4}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3 x^{- 4}}{3}$

خطوة 4.11

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

خطوة 4.12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

خطوة 4.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$250 x + \frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$250 x - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$