حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x + \frac{c}{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + \frac{c}{x}$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + \frac{c}{x}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب $x + \frac{c}{x}$ في $1$ .

$\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب $\frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{{(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 4

اجمع.

$\frac{x (x + \frac{c}{x} - x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 6

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot x + x \frac{c}{x} + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \cdot x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 1} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 10

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + c + x (- x \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + c - (x^{1} x^{1}) \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + c - x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 14

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \frac{d}{d x} [x + \frac{c}{x}]}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{c}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{c}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 17

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{c}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 18

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- x^{- 2}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} (1 + c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (c (- \frac{1}{x^{2}}))}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- c \frac{1}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $c$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} (- \frac{c}{x^{2}})}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{c}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - x^{2} \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + x^{2} \cdot - 1 \frac{- c}{x^{2}}}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} + c - x^{2} - - c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + 1 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.1.6

اضرب $c$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + c - x^{2} + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} + c - x^{2} + c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.2.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{c + 0 + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.2.2

أضف $c$ و $0$ .

$\frac{c + c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.3.3

أضف $c$ و $c$ .

$\frac{2 c}{x {(x + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x}{x} + \frac{c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 c}{x {(\frac{x \cdot x + c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.4.3

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 c}{x {(\frac{x^{2} + c}{x})}^{2}}$

خطوة 20.4.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{2} + c}{x}$ .

$\frac{2 c}{x \frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 20.5

اجمع $x$ و $\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 20.6

اختزِل العبارة $\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x {(x^{2} + c)}^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x^{2}}}$

خطوة 20.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{2 c}{\frac{x ({(x^{2} + c)}^{2})}{x \cdot x}}$

خطوة 20.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 c}{\frac{x {(x^{2} + c)}^{2}}{x \cdot x}}$

خطوة 20.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 c}{\frac{{(x^{2} + c)}^{2}}{x}}$

خطوة 20.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

خطوة 20.8

اضرب $2 c \frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.8.1

اجمع $2$ و $\frac{x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$c \frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

خطوة 20.8.2

اجمع $c$ و $\frac{2 x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$ .

$\frac{c (2 x)}{{(x^{2} + c)}^{2}}$

خطوة 20.9

انقُل $2$ إلى يسار $c$ .

$\frac{2 c x}{{(x^{2} + c)}^{2}}$