حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ غير معرّفة.

$x = - 3, x = 3$

خطوة 2

بما أن $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 3$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 3$ من جهة اليمين، إذن $x = - 3$ خط تقارب رأسي.

$x = - 3$

خطوة 3

بما أن $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $3$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $3$ من جهة اليمين، إذن $x = 3$ خط تقارب رأسي.

$x = 3$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 3, 3$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 3^{2}}$

خطوة 8.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{x^{3}}{(x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2

وسّع $(x + 3) (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

خطوة 8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

خطوة 8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 3$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.2.9

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

خطوة 8.2.10

أضف $- 3 x$ و $3 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 0 - 9}$

خطوة 8.2.11

اطرح $9$ من $0$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

خطوة 8.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

خطوة 8.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - 9 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

خطوة 8.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

خطوة 8.8

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$0$

خطوة 8.9

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$x + \frac{9 x}{x^{2} - 9}$

خطوة 8.10

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = x$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 3, 3$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = x$

خطوة 10