حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ غير معرّفة.

$x = - 8, x = 8$

خطوة 2

بما أن $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 8$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 8$ من جهة اليمين، إذن $x = - 8$ خط تقارب رأسي.

$x = - 8$

خطوة 3

بما أن $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $8$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $8$ من جهة اليمين، إذن $x = 8$ خط تقارب رأسي.

$x = 8$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 8, 8$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8^{2} - x^{2}}$

خطوة 8.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 8$ و $b = x$ .

$\frac{x^{3}}{(8 + x) (8 - x)}$

خطوة 8.2

وسّع $(8 + x) (8 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{8 (8 - x) + x (8 - x)}$

خطوة 8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)}$

خطوة 8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

خطوة 8.2.4

احذِف الأقواس.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

خطوة 8.2.5

أعِد ترتيب $x$ و $8$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x (- x)}$

خطوة 8.2.6

احذِف الأقواس.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}$

خطوة 8.2.7

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 \cdot (x \cdot x)}$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 1$ في $x$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

خطوة 8.2.9

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

خطوة 8.2.10

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - 1 x \cdot x}$

خطوة 8.2.11

أخرِج السالب.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

خطوة 8.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

خطوة 8.2.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

خطوة 8.2.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{1 + 1}}$

خطوة 8.2.15

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{2}}$

خطوة 8.2.16

أضف $- 8 x$ و $8 x$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 0 - x^{2}}$

خطوة 8.2.17

اطرح $x^{2}$ من $0$ .

$\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

خطوة 8.2.18

أعِد ترتيب $64$ و $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 64}$

خطوة 8.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

خطوة 8.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - 64 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

خطوة 8.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

خطوة 8.8

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

$0$

خطوة 8.9

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$- x + \frac{64 x}{- x^{2} + 64}$

خطوة 8.10

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = - x$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 8, 8$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = - x$

خطوة 10