حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ غير معرّفة.

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 2

تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوة 3

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $5$ من $25 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

خطوة 3.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 3.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 3.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 3.3.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 3.3.5

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

خطوة 3.4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 3.5.1.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

خطوة 3.5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

خطوة 3.5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

خطوة 3.5.5

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

خطوة 3.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

خطوة 3.7.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

اقسِم $5 + 0$ على $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

خطوة 3.7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

خطوة 3.7.2.2.2

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{25}}$

خطوة 3.7.2.2.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

خطوة 3.7.2.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{5}$

خطوة 4

احسِب قيمة $lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{25 x^{2} + 5}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $5$ من $25 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $5$ من $25 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5}}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2}) + 5 (1)}}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (5 x^{2}) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{5 (5 x^{2} + 1)}}$

خطوة 4.2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.4

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.5

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{5 (5 x^{2} + 1)}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.6

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 1}{x^{2}}}}$

خطوة 4.4

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{2}$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 4.5.1.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 4.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}$

خطوة 4.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- \sqrt{5 lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{2}}}{1}}}$

خطوة 4.5.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

خطوة 4.5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

خطوة 4.5.5

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

خطوة 4.6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

خطوة 4.7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 \frac{5 + 0}{1}}}$

خطوة 4.7.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اقسِم $5 + 0$ على $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

خطوة 4.7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{5 (5 + 0)}}$

خطوة 4.7.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{\sqrt{5 (5 + 0)}}$

خطوة 4.7.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.3.1

أضف $5$ و $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 5}}$

خطوة 4.7.2.3.2

اضرب $5$ في $5$ .

$- \frac{1}{\sqrt{25}}$

خطوة 4.7.2.3.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

خطوة 4.7.2.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{1}{5}$

خطوة 5

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

خطوة 6

استخدِم قسمة متعددات الحدود لإيجاد خطوط التقارب المائلة. نظرًا إلى أن هذه العبارة تتضمن جذرًا، لا يمكن إجراء قسمة متعددات الحدود.

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

لا توجد خطوط تقارب رأسية

خطوط التقارب الأفقية: $y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

لا يمكن إيجاد خطوط تقارب مائلة

خطوة 8