حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- 2 x})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.2

اضرب الأُسس في ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

خطوة 1.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = - 6 x$ . إذن $d u_{1} = - 6 d x$ ، لذا $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = - 6 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$- 6$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 4.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 7

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = - 4 x$ . إذن $d u_{2} = - 4 d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 9.1.2

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$- 4$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 10.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 12

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 14.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 15

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 16

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

خطوة 17

لنفترض أن $u_{3} = - 2 x$ . إذن $d u_{3} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

افترض أن $u_{3} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 17.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 17.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 17.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 17.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

خطوة 18.2

اجمع $e^{u_{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

خطوة 19

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

خطوة 20

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

خطوة 21

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

خطوة 22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

خطوة 22.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

خطوة 23

تكامل $e^{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

خطوة 24

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

خطوة 25

بسّط.

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

خطوة 26

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 6 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

خطوة 26.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 4 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

خطوة 26.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$