حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x (x + 9) \cdot (x + 6)$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

خطوة 1.1.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u - 6) (u - 6 + 9) \cdot u d u$

خطوة 2

أضف $- 6$ و $9$ .

$\int (u - 6) (u + 3) u d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u (u + 3) - 6 (u + 3)) u d u$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 (u + 3)) u d u$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3 - 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot 3) u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

خطوة 3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u + (- 6 u - 6 \cdot 3) u d u$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot 3 u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب $u$ و $3$ .

$\int u \cdot u \cdot u + 3 \cdot u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.8

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.9

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 1} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.11

أضف $1$ و $1$ .

$\int u^{2} u + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.12

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{2} u^{1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2 + 1} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.14

أضف $2$ و $1$ .

$\int u^{3} + 3 u \cdot u - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.15

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.16

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{3} + 3 (u^{1} u^{1}) - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + 3 u^{1 + 1} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.18

أضف $1$ و $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u \cdot u - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.19

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u) - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.20

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 (u^{1} u^{1}) - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{1 + 1} - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.22

أضف $1$ و $1$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 6 \cdot 3 u d u$

خطوة 3.23

اضرب $- 6$ في $3$ .

$\int u^{3} + 3 u^{2} - 6 u^{2} - 18 u d u$

خطوة 3.24

اطرح $6 u^{2}$ من $3 u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} - 18 u d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int - 18 u d u$

خطوة 6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int - 18 u d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 18 u d u$

خطوة 8

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 18$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 \int u d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 18 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 18 \frac{u^{2}}{2} + C$

خطوة 10.2.2

اجمع $- 18$ و $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 18 u^{2}}{2} + C$

خطوة 10.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18 u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2} + C$

خطوة 10.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 (1)} + C$

خطوة 10.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 (- 9 u^{2})}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 10.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{- 9 u^{2}}{1} + C$

خطوة 10.2.3.2.4

اقسِم $- 9 u^{2}$ على $1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} - 9 u^{2} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 6$ .

$\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - {(x + 6)}^{3} - 9 {(x + 6)}^{2} + C$