حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{y} + \sqrt{x + y} = e^{x y}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + y}$ في صورة ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = e^{x y}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y')$

خطوة 3.3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y')$

خطوة 3.3.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y')$

خطوة 3.3.11

انقُل ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

لكتابة $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اجمع $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ و $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y - x y' + \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اجمع $y^{2}$ و $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y - x y' + \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')}{y^{2}}$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 4.5

اضرب $y$ في $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

خطوة 4.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{- x y' + (1 + y') (\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + y}{y^{2}} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y}{y^{2}} y^{2} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- x y' + (1 + y') \frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.2

اضرب $1 + y'$ في $\frac{y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x y' + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.3

لكتابة $- x y'$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.4.1

اجمع $- x y'$ و $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + (1 + y') y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 1 y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.5.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.6

لكتابة $y$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.7

اجمع $y$ و $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.11

أخرِج العامل $- 1$ من $y^{2}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- y^{2})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.13

أخرِج العامل $- 1$ من $y' y^{2}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}) - (- y' y^{2})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.15

أخرِج العامل $- 1$ من $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.16

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.17.1

أعِد كتابة $- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ بالصيغة $- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 1 (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.1.1.17.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = (e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $(e^{x y} x y' + e^{x y} y) y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y \cdot y^{2}$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

انقُل $y^{2}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y)$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} (y^{2} y^{1})$

خطوة 6.2.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{2 + 1}$

خطوة 6.2.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$

خطوة 6.2.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x y} x y' y^{2} + e^{x y} y^{3}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = x y' y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

خطوة 6.2.2.1.4

أعِد ترتيب $x$ و $y'$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كلا الطرفين في $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.2.1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - y' y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - - y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3.2

اضرب $- - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 1 y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} - (- y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3.3

اضرب $- (- y' y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + 1 (y' y^{2}) - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3.3.2

اضرب $y'$ في $1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} - (- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- 2 (x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{2} + y' y^{2} + 2 (y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.4

احذِف الأقواس.

$- 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.5.1

انقُل $x$ .

$- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{2} + y' y^{2} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.5.2

انقُل $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.1.5.3

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $y' y^{2}$ .

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط $(y' x y^{2} e^{x y} + y^{3} e^{x y}) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = y' x y^{2} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.2.1.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} e^{x y} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اطرح $2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$y' y^{2} + y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}$

خطوة 6.3.3.2.2

اطرح $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ من كلا المتعادلين.

$y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2} - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2}) + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.3.4

اقسِم كل حد في $y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ على $y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.1

$\frac{y' (y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.3.3.4.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.4.3.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y^{3} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) - y^{2} - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.3.3

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.3.4

أخرِج العامل $y$ من $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3.3.4.3.2.3.5

أخرِج العامل $y$ من $y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y) + y (- 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y - 2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{y^{2} - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2 x y^{2} e^{x y} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$