حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - y^{3} = 6 x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$6 (x y' + y)$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x y' + 6 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $6 x y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

خطوة 5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- y^{2}) - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 6 x y'$ .

$3 y' (- y^{2}) + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' (- y^{2}) + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ على $3 (- y^{2} - 2 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y' (- y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ على $3 (- y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (- y^{2} - 2 x)}{3 (- y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (- y^{2} - 2 x)}{3 (- y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- y^{2} - 2 x)}{- y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- y^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- y^{2} - 2 x)}{- y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (- y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (- y^{2} - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y}{- y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- y^{2} - 2 x}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2}) - 2 x}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2}) - (2 x)}$

خطوة 5.4.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- (y^{2} + 2 x)}$

خطوة 5.4.3.2.5

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (y^{2} + 2 x)$ بالصيغة $- 1 (y^{2} + 2 x)$ .

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{- 1 (y^{2} + 2 x)}$

خطوة 5.4.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} + 2 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} + 2 x}$