حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + y^{3} = \tan (x^{2} y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\tan (x^{2} y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} y' + 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y) \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y) (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sec^{2} (x^{2} y) (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sec^{2} (x^{2} y) (x^{2} y' + y (2 x))$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\sec^{2} (x^{2} y) (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sec^{2} (x^{2} y) (x^{2} y') + \sec^{2} (x^{2} y) (2 y x)$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} \sec^{2} (x^{2} y) y' + 2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' + 2 x = x^{2} \sec^{2} (x^{2} y) y' + 2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $x^{2} \sec^{2} (x^{2} y) y' + 2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$ .

$3 y^{2} y' + 2 x = x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y) + 2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$

خطوة 5.2

اطرح $x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y)$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' + 2 x - x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$

خطوة 5.3

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y' - x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y)$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (3 y^{2}) + y' (- x^{2} \sec^{2} (x^{2} y))$ .

$y' (3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$ على $3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)) = 2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$ على $3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y))}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)} = \frac{2 x y \sec^{2} (x^{2} y)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x y \sec^{2} (x^{2} y)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)} + \frac{- 2 x}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x y \sec^{2} (x^{2} y)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)} - \frac{2 x}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x y \sec^{2} (x^{2} y) - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x y \sec^{2} (x^{2} y)$ .

$y' = \frac{2 x (y \sec^{2} (x^{2} y)) - 2 x}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.3.3.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 x (y \sec^{2} (x^{2} y)) + 2 x (- 1)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 5.5.3.3.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (y \sec^{2} (x^{2} y)) + 2 x (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x (y \sec^{2} (x^{2} y) - 1)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y \sec^{2} (x^{2} y) - 1)}{3 y^{2} - x^{2} \sec^{2} (x^{2} y)}$