حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{2} (x y) = x + y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.7

اضرب $y$ في $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

خطوة 2.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

خطوة 5.2

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أضف $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

خطوة 5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أضف الأقواس.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

خطوة 5.3.2.2

أعِد ترتيب $2 y$ و $\cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

خطوة 5.3.2.3

أضف الأقواس.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

خطوة 5.3.2.4

أعِد ترتيب $\cos (x y)$ و $\sin (x y) \cdot 2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

خطوة 5.3.2.5

أعِد ترتيب $\sin (x y)$ و $2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

خطوة 5.3.2.6

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

خطوة 5.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $1 + \sin (2 x y) y$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ على $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ على $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

خطوة 5.5.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

خطوة 5.5.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

خطوة 5.5.3.5

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

خطوة 5.5.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$