حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} = \sin (x + 8 y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 8 y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 2.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 8 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 8 y$ .

$\cos (x + 8 y) \frac{d}{d x} [x + 8 y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 8 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y]$ .

$\cos (x + 8 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + \frac{d}{d x} [8 y])$

خطوة 3.2.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 8 y) (1 + 8 y')$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ على $\cos (x + 8 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $\cos (x + 8 y) (1 + 8 y') = 2 e^{2 x}$ على $\cos (x + 8 y)$ .

$\frac{\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')}{\cos (x + 8 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x + 8 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x + 8 y) (1 + 8 y')}{\cos (x + 8 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $1 + 8 y'$ على $1$ .

$1 + 8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}$

خطوة 5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $8 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} - 1$ على $8$ .

$\frac{8 y'}{8} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y'}{8} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)}}{8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 8 y)} \cdot \frac{1}{8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.2

اجمع.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 8 y) \cdot 8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x} \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{\cos (x + 8 y) \cdot 8} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\cos (x + 8 y) \cdot 8$ .

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{2 (\cos (x + 8 y) \cdot 4)} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (e^{2 x} \cdot 1)}{2 (\cos (x + 8 y) \cdot 4)} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 8 y) \cdot 4} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.4

اضرب $e^{2 x}$ في $1$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{\cos (x + 8 y) \cdot 4} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.5

افصِل الكسور.

$y' = \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{\cos (x + 8 y)} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.6

حوّل من $\frac{1}{\cos (x + 8 y)}$ إلى $\sec (x + 8 y)$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{4} \sec (x + 8 y) + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.7

اجمع $\frac{e^{2 x}}{4}$ و $\sec (x + 8 y)$ .

$y' = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 5.4.3.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} - \frac{1}{8}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{2 x} \sec (x + 8 y)}{4} - \frac{1}{8}$