حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{y}$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.6

اضرب $y$ في $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- x^{- 2} - \frac{0 - y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.8

اطرح $y'$ من $0$ .

$- x^{- 2} - \frac{- y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x^{- 2} - - \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- x^{- 2} + 1 \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.11

اضرب $\frac{y'}{y^{2}}$ في $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + \frac{1}{y} \cdot 0$

خطوة 2.3.12

اضرب $\frac{1}{y}$ في $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}} + 0$

خطوة 2.3.13

أضف $\frac{y'}{y^{2}}$ و $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $\frac{1}{x^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$