حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.4

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.2.8

اطرح $4$ من $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.5

اضرب $y^{2}$ في $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.8

اطرح $2 y y'$ من $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3.9

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.9.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

خطوة 2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

خطوة 2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

خطوة 2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

خطوة 2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

خطوة 2.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $\frac{2}{x^{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $\frac{2 y'}{y^{3}}$ على $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ بالصيغة $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 5.3

اضرب كلا الطرفين في $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

خطوة 5.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

خطوة 5.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

اجمع $y^{3}$ و $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

خطوة 5.4.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ على $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

خطوة 5.5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$