حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 1) y^{2} = x + 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ((x - 1) y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 1$ و $g (x) = y^{2}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$(x - 1) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x - 1$ .

$2 \cdot (x - 1) y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2} (1 + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2} \cdot 1$

خطوة 2.8.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 (x - 1) y y' + y^{2}$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x + 2 \cdot - 1) y y' + y^{2}$

خطوة 2.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(2 x y + 2 \cdot - 1 y) y' + y^{2}$

خطوة 2.9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y y' + 2 \cdot - 1 y y' + y^{2}$

خطوة 2.9.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x y y' - 2 y y' + y^{2}$

خطوة 2.9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 y y' = 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' - 2 y y' = 1 - y^{2}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 x y y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 x y y'$ .

$2 y y' x - 2 y y' = 1 - y^{2}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $- 2 y y'$ .

$2 y y' x + 2 y y' \cdot - 1 = 1 - y^{2}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 y y' x + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (x - 1) = 1 - y^{2}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 y y' (x - 1) = 1 - y^{2}$ على $2 y (x - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y y' (x - 1) = 1 - y^{2}$ على $2 y (x - 1)$ .

$\frac{2 y y' (x - 1)}{2 y (x - 1)} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y' (x - 1)}{2 y (x - 1)} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (x - 1)}{y (x - 1)} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (x - 1)}{y (x - 1)} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y^{2}}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{y (- y)}{2 y (x - 1)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y (x - 1)$ .

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{y (- y)}{y (2 (x - 1))}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{y (- y)}{y (2 (x - 1))}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} + \frac{- y}{2 (x - 1)}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{2 y (x - 1)} - \frac{y}{2 (x - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (x - 1)} - \frac{y}{2 (x - 1)}$