حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{9} (x + y) = y^{2} (7 x - y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{9} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (7 x - y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{9}$ و $g (x) = x + y$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{9} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{9} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$x^{9} (1 + y') + (x + y) (9 x^{8})$

خطوة 2.5

انقُل $9$ إلى يسار $x + y$ .

$x^{9} (1 + y') + 9 \cdot (x + y) x^{8}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 (x + y) x^{8}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + (9 x + 9 y) x^{8}$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{9} \cdot 1 + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

اضرب $x^{9}$ في $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x \cdot x^{8} + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4.2

اضرب $x$ في $x^{8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.2.1

انقُل $x^{8}$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x) + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4.2.2

اضرب $x^{8}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 (x^{8} x^{1}) + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8 + 1} + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4.2.3

أضف $8$ و $1$ .

$x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{9} + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.4.3

أضف $x^{9}$ و $9 x^{9}$ .

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 y x^{8}$

خطوة 2.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{2}$ و $g (x) = 7 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [7 x - y] + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $7$ في $1$ .

$y^{2} (7 + \frac{d}{d x} [- y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (7 - \frac{d}{d x} [y]) + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$y^{2} (7 - y') + (7 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.5

انقُل $2$ إلى يسار $7 x - y$ .

$y^{2} (7 - y') + 2 \cdot (7 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y^{2} (7 - y') + 2 (7 x - y) y y'$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x - y) y y'$

خطوة 3.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) + 2 (- y)) y y'$

خطوة 3.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + (2 (7 x) y + 2 (- y) y) y'$

خطوة 3.7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} \cdot 7 + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

خطوة 3.7.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.1

انقُل $7$ إلى يسار $y^{2}$ .

$7 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (7 x) y y' + 2 (- y) y y'$

خطوة 3.7.5.2

اضرب $7$ في $2$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' + 2 (- y) y y'$

خطوة 3.7.5.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y \cdot y y'$

خطوة 3.7.5.4

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

خطوة 3.7.5.5

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

خطوة 3.7.5.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

خطوة 3.7.5.7

أضف $1$ و $1$ .

$7 y^{2} + y^{2} (- y') + 14 x y y' - 2 y^{2} y'$

خطوة 3.7.5.8

اطرح $2 y^{2} y'$ من $y^{2} (- y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.5.8.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $- 1$ .

$7 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 14 x y y'$

خطوة 3.7.5.8.2

اطرح $2 y^{2} y'$ من $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y = 7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $y'$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' = 10 x^{9} + x^{9} y' + 9 x^{8} y$

خطوة 5.2

اطرح $x^{9} y'$ من كلا المتعادلين.

$7 y^{2} - 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y$

خطوة 5.3

اطرح $7 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y^{2} y' + 14 x y y' - x^{9} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 14 x y y' - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $14 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) - x^{9} y' = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{9} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 3 y^{2}) + y' (14 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 3 y^{2} + 14 x y) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ على $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}) = 10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}$ على $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9})}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{- 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{10 x^{9}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} + \frac{9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}} - \frac{7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 3 y^{2} + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 14 x y - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $14 x y$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 14 x y) - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y^{2}) - (- 14 x y)$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - x^{9}}$

خطوة 5.5.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{9}$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})}$

خطوة 5.5.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y^{2} - 14 x y) - (x^{9})$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

خطوة 5.5.3.9

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.9.1

أعِد كتابة $- (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ بالصيغة $- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})$ .

$y' = \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 14 x y + x^{9})}$

خطوة 5.5.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x^{9} + 9 x^{8} y - 7 y^{2}}{3 y^{2} - 14 x y + x^{9}}$