حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5 y} = y^{6 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = x$ و $g = 5 y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

خطوة 2.2.2

اضرب $5$ في $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

خطوة 2.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة المعممة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ هو $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ حيث $f = y$ و $g = 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

خطوة 3.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

خطوة 3.5

اضرب $6$ في $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

خطوة 5.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط $5 \ln (x)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

خطوة 5.4.1.2

بسّط $- 6 \ln (y)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

خطوة 5.4.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ .

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

خطوة 5.6

اطرح $6 x y' y^{6 x - 1}$ من كلا المتعادلين.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

خطوة 5.7

أضف $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ إلى كلا المتعادلين.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $y'$ من $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

خطوة 5.8.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

خطوة 5.8.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

خطوة 5.9

اقسِم كل حد في $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ على $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اقسِم كل حد في $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ على $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.9.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 y x^{5 y - 1}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.5.1

أعِد كتابة $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ بالصيغة $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 5.9.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$